高二数学@不等式

若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？
解：令t=x²+y²＞0
故： y²=t-x²
故：y=±√(t-x²)
故：t±x√(t-x²)=1
故：x²(t-x²)=(1-t)²
故：x^4-tx²+(1-t)²=0
故：△=t²-4(1-t)²≥0
故：2/3≤t≤2
即：2/3≤x²+y²≤2

在ABC中，∠C=60°，c=1，则其余两边a+b的最大值？
解：a/sinA=b/sinB=c/sinC=1/sin60°=2√3/3
故：a=2√3/3•sinA；b=2√3/3•sinB
因为∠C=60°，故：B＝120°-A，且0＜A＜120°
故：a+b=2√3/3•(sinA+sinB)
=2√3/3•[sinA+sin(120°-A)]
=2√3/3•(3/2•sinA+√3/2•cosA)
=2•(√3/2•sinA+1/2•cosA)
=2sin(A+30°)
故：a+b的最大值是2，此时∠A=60°（正△）

设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）
证明：因为(a-b)²≥0
故：a²-2ab+b²≥0
故：a²+2ab+b²≥4ab
故：(a+b) ²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]
故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)
故：1/(4a)+a/(4b) ≥1/(a+b)
同理：1/(4a)+1/(4c) ≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c) ≥1/(b+c)
故：1/(4a)