是否存在同时满足下列条件的抛物线?如果存在,求出其方程;如果不存在,请加以证明。

假设此抛物线开口向右，那么p>0
根据抛物线的性质及题意，其焦点的坐标为(p,0),顶点坐标为(0.5p,0)
故而得到此时抛物线的方程为
y^2=2p(x-0.5p)
到点A的距离为2的点，构成一个圆，其方程为(x-3)^2+y^2=4
由对称性可知，抛物线与圆的交点关于x轴对称，
也就是若联列抛物线与圆的方程，所能解出的x的值只有一个，说明该圆与抛物线相切，结论成立，
将y^2=2p(x-0.5p)代入圆的方程，整理后，得
x^2+2(p-3)x+5-p^2=0
使得判别式为0即可
Δ=4(p-3)^2-4(5-p^2)=0,解得
p=2,p=1
故而抛物线方程为
y^2=2x-1,或者y^2=4x-4

对于p<0,也就是抛物线开口向左，与上面同理
y^2=2p(x-0.5p)
代入圆的方程
最终解得
p=2,p=1，不符合预设的p<0的条件。全部舍去

综上所述
抛物线方程有2条，分别为
y^2=2x-1,
y^2=4x-4

设抛物线为
y^2=2p(x-p/2)（开口向左）或y^2=-2p(x+p/2)（开口向右）
对于（1）
点A(3,0)到此抛物线上点的最小距离可以看做是以A为圆心，2为半径的圆与抛物线正好相切
即(x-3)^2+y^2=4与y^2=2p(x-p/2)相切，由对称性可知
x^2+(2p-6)x-p^2+5=0
△=4p^2-24p+36+4p^2-20=8p^2-24p+16=0
即p^2-3p+2=0
解得p=2或p=1
因此抛物线为y^2=4(x-1)或y^2=2(x-1/2)

对于（2），同理有
x^2-(2p+6)x-p^2+5=0
△=8p^2+24p+16=0
即p^2+3p+2=0
p=-2或p=-1(均舍去）

所以抛物线存在，且有两条
y^2=4(x-1)或y^2=2