拉格朗日定理及简单的几道题

1
设f（x）=ln(1+x)-x
则f'（x）=1/(1+x)-1<0.是减函数.
而f（0）=ln1-0=0,
则f（x）<0.
则ln(1+x)<x.
同理可证:x/1+x<ln(1+x).

2
分离变量:
dy/y=dx/x
两边积分得:
ln|y|=ln|x|+lnC1.
则y=C·x.

3
两边求导:
(y^5-xy+1)'=5·y^4·y'-[y+x·y']=0,
则y'=y/(5·y^4 - x).

1）当x>0时，（x-ln(1+x)）' = 1-1/(1+x) =x/(1+x) > 0，
而且当x=0时，x-ln(1+x)=0, 所以由拉格朗日定理，
x-ln(1+x)=0+η/(1+η)*x>0，其中η在0到x之间。
所以ln(1+x)<x。
同样，(ln(1+x)-x/(1+x)）' = 1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2 > 0，
而且当x=0时，ln(1+x)-x/(1+x)=0, 所以由拉格朗日定理，
ln(1+x)-x/(1+x)=0+η/(1+η)^2 * x>0，其中η在0到x之间。
所以x/(1+x)<ln(1+x)，因此x/1+x<ln(1+x)<x。

2）由dy/dx=y/x，可知dy/y=dx/x，dy/y-dx/x=0,两边同时积分，有
lny-lnx+C=0，其中C是常数。
所以有ln(y/x)=-C, y/x=e^(-C)，y=e^(-C)x=C1*x，其中C1=e^(-C)是不为0的常数。 如果y(1)=1，那么就有1=C1*1，所以C1=1，此时特解为y=x.

3)y^5-xy+1=0成立，所以x=y^4+1/y，
两边同时对y求导有
x'_y=4y^3-1/y^2, 其中x'_y 是x对y的导