线性方程有解证明

对于非齐次线性方程组，下列条件等价；

(1).AX=b 有解；

(2). b可由A的列向量组线性表示；

(3). 增广矩阵[A b]的秩等于系数矩阵A的秩。

证明：设A是一个m*n矩阵，将A按列分块为A=[a1,a2,...,an]，则：

AX=b有解<=>向量方程组x1a1+x2a2+...+xnan=b有解
<=>向量b可由向量组a1,a2,...,an线性表示
<=>向量组a1,a2,...,an,b与向量组a1,a2,...,an等价
<=>秩[a1,a2,...,an,b]=秩[a1,a2,...,an]
<=>增广矩阵[A b]的秩等于系数矩阵A的秩

线性方程组有解=>即增广矩阵的最后一列可由系数矩阵的列向量线性表出，故即使系数矩阵加多此列，它们的秩还是相等的。
系数矩阵的列向量与增广矩阵的列向量等秩=>即增广矩阵的最后一列可由系数矩阵的列向量线性表出，此表出的系数就方程组的解

不会····