10分 一道初中数学题

设P到ABC三边的距离分别为X Y Z
1/2*(X+Y+Z)*1=1/2*1*√3/2
所以 X+Y+Z=√3/2
过P做PB'//AC 交AB于B'
过P做PC'//AB 交AC于C'
过P做PE⊥AB,交AB于E，PE=X
过P做PF⊥AC,交AB于F, PF=Y FC'=Y/√3,AC'=PB'=2X/√3
PA=√(Y^2+(Y/√3+2X/√3)^2)=√(4/3*(X^2+XY+Y^2))
2XY≤X^2+Y^2
3X^2+3Y^2+4XY+2XY≤3X^2+3Y^2+4XY+X^2+Y^2
3(X+Y)^2≤4(X^2+Y^2+XY)
PA≥(X+Y)
PA+PB+PC≥2(X+Y+Z)=√3>3/2
由于P点在三角形内，X,Y,Z均>0,
PA=√(4/3*(X^2+XY+Y^2))<√(4/3*(X^2+2XY+Y^2))=√(4/3)*(X+Y)
PA+PB+PC=2/√3 *(√( X^2+XY+Y^2)+√(Y^2+YZ+Z^2)+√(Z^2+XZ+X^2))
<2/√3 *(√( X^2+2XY+Y^2)+√(Y^2+2YZ+Z^2)+√(Z^2+2XZ+X^2))
=2/√3*(X+Y+Y+Z+Z+X)=2