高中数学 全卷最后一题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 15:32:55
已知b、c是实数，函数f（x）=x^2+bx+2c对任意α、β∈R，恒有f(1-sinα)≥0，且f(3+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=-2;
(2)求c的取值范围
(3)设f(1-sinα)的最大值为10，求函数f(x)的解析式。

麻烦写下过程
我还会加分的，请放心！

1）因为函数f（x）=x^2+bx+2c
对任意α、β∈R，恒有f(1-sinα)≥0，且f(3+cosβ)≤0
令α＝- 兀/2、β＝-兀
则有 f(1-sinα)＝f(2)≥0，f(3+cosβ)=f(2)≤0
所以f(2)=0
所以4+2b+2c=0
所以b+c=-2，得证
2）由已知得，对于0≤x≤2,恒有f(x)≥0
对于2≤x≤4,恒有f(x)≤0
又开口向上
所以必有f(0)>0
f(4)≤0
所以 2c>0
16+4b+2c≤0 16+4(-2-c)+2c≤0
解有： c≥4
3) 又f(1-sinα)≤f(0)=2c=10
解有 c=5
所以b=-7
所以f（x）=x^2-7x+10