请大虾帮忙做一道数列的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 15:51:48
有一组数列
1 1 1 1 1 1 。。。1 （N个）
1 2 3 4 5 6 。。。n ( N个）
1 3 6 10 15 21 。。。n(n+1)/2
1 4 10 20 35 56 n^3/6+n^2/2+n/3
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1 n n(n+1)/2 n^3/6+n^2/2+n/3 。。。。。？
求第n行n列的表达式子
并求出每一列（从上往下）的和。
比如第一列的和等于n,
第二列的和等于 n(n+1)/2
依次类推，求第n列的和是多少！

谢谢大家不吝指教。
一楼回答得不错，斜过来看确实是杨辉三角，但是是否能进一步回答一下，我的问题呢？

二楼的，我不求所有列的和，但是能把第n列的和求出来就可以。

检举杨辉三角+组合+归纳法

首先，这些数字是有规律的：

用C(N,M)表示组合数，即从N个东西中取出M个的组合方案数

第一行的数字：

C(0,0),C(1,0).....C(N,0)

第二行的数字：

C(1,1),C(2,1),C(3,1)....C(N,1)

第三行的数字：

C(2,2),C(3,2),C(4,3)....C(N+1,2)

……

所以猜想第p行第q个数是C(p+q-2,p-1)

证明：

用归纳法，第一行的数字规律是显而易见的

考虑第p行的第q的数字，设为X[p][q],那么X[p][q]是第p-1行的前q个数字之和：

X[p][q]=X[p-1][1]+X[p-1][2]+...+X[p-1][q]

所以

X[p][q]=C(p-2,p-2)+C(p-1,p-2)+..+C(p+q-3,p-2)

=C(p-1,p-1)-C(p-2,p-1)+C(p,p-1)-C(p-1,p-1)+...C(p+q-2,p-1)-C(p+q-3,p-1)

=C(p+q-2,p-1)

也成立

由归纳原理，X[p][q]=C(p+q-2,p-1),第p行第q个数字是C(p+q-2,p-1)

那么第N行第N个数字是C(2N-2,N-1)

所以第N列的和=第N行的和=C(N-1,N-1)+C(N,N-1)+...C(2N-2,N-1)=

=C(N,N)-C(N-1,N)+C(N+1,N)-C(N,N)+...C(2N-1,N)-C(2N-1,N-1)

=C(2N-1,N)

综上所述，第x行第y列的数字是C(x+y-2,x-1),第N行N列的数字是C(2N-2,N-1),第N列的和为C(2N-1,N)

楼主的这个数列其实就是把组合数排成一张表。我重新画了一下，见附图，与楼主写的表是对应的。

附图中的 “小括号中上n下1” 代表从n中取1的组合数，相当于C(1,n)，其余类似。以后为了打字方便，我们都用类似于C(1,n)的记号表