含有间断点的函数问题

1。函数f(x)在[a，b]只含有有限个第一类间断点，那么函数f(x)
在[a，b]一定有界。
证明：设函数f(x)在[a，b]只含有n个第一类间断点：x1,x2,......xn.
在这n个间断点处将[a，b]分成n+1个闭区间：
[x0，x1],[x1，x2],......,[xn，x+1].（其中：x0=a，xn+1=b）
∵x1,x2,......xn是第一类间断点，它们的左右极限存在。
∴函数f(x)在n+1个闭区间[x0，x1],[x1，x2],......,[xn，xn+1]上
连续。
根据闭区间上连续函数有界性定理，一定存在n+1个正数 Mi>0，
(i=0,1,2,.......,n),使得 [f(x)]≤Mi，x∈[xi，xi+1]，（i=0，
1,2,.......,n），（其中：[f(x)]表示f（x）的绝对值）。
∴取 M=max{M0,M1,M3,.......Mn}，则有 [f(x)]≤M，x∈[a，b]。
故 函数f(x)在[a，b]只含有有限个第一类间断点，那么函数f(x)
在[a，b]一定有界。
2。函数f(x)在[a，b]只含有有限个第二类间断点，那么函数f(x)在[a，b]有界
不确定。

1. 分段有界，所以整体是有界的。
2. 至少有无界的可能。例：考虑函数f(x)=1/x和区间[-1,1]。

若f(x)在[a,b]上只含有有限个第一类间断点，f(x)在[a,b]上有界
函数f(x)在[a，b]只含有有限个第二类间断点，那么函数f(x)在[a，b]无界
理由：第二类是无穷的间断点，肯定有一个极限不存在
第一类是可去间断点和跳跃间断点，左右极限均存在