UC知道高中数学必修2：如图,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方形的对角线A
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 12:06:25
高中数学必修2：
如图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方形的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
（1） 当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
（2） 当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；
（3） 当点P为对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
我想要具体的过程，算式，凭直觉我也认为是P、Q都为中点时最小，但还是需要具体的说明。
如图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方形的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
（1） 当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
（2） 当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；
（3） 当点P为对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
我想要具体的过程，算式，凭直觉我也认为是P、Q都为中点时最小，但还是需要具体的说明。
原题中的正方体的对角线应该是AC1,不是AB。设棱长为1，（1）（2）（3）的结果都是2分之根号2，容易证明PQ和对角线AB、棱CD都垂直，这个距离叫做两条异面直线间的距离，得出的结论是两异面直线之间垂线段最短。两根交叉但不接触的电线出现电火花就是在这个位置。
解：设正方体边长为a，P(x1,x1,z1)，Q(x2,a,a)
如图，则ΔGP'P和ΔGEA相似，
∴GP‘/EG=P'P/AE，即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1
∴P(x1,x1,a-x1), 向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）
(1)，由题意得：PQ⊥AG，
此时，x1=a/2，向量PQ=(x2-a/2,a/2,a/2),向量AG=(a,a,-a)
∴向量PQ·向量AG=a(x2-a/2)=0
∴x2=a/2，向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(2)，同理，PQ⊥CD，
此时x2=a/2，向量PQ=(a/2-x1,a-x1,x1)，向量DC=(a,0,0)
∴向量PQ·向量DC=a(a/2-x1)=0
∴x1=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(3)，由题意，PQ为CD和AG的公垂线
由(1)、(2)得：当x1=x2=a/2时，能够成线段PQ
且PQ为CD和AG的公垂线
∴|PQ|=√2 a/2，为最小值
验证：向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1)，向量AG=(a,a,-a)，向量DC=(a,0,0)
PQ为CD和AG的公垂线
∴a(x2-x1)+a(a-x1)-ax1=0
a(x2-x1)=0
联立得：x1=x2=a/2
你观