以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点

∵AB 是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
作CD⊥AB于D
根据三角形的面积公式可得：
AC*BC=AB*CD=2OC*CD
∵OC^2=AC *BC
∴OC^2=2OC*CD
∴OC =2CD
∴∠COD=30°
∴当点D在OB上时，∠CAB=15°
当点D在OA上时，∠CAB=75°

因为AB是直径，C是圆上一点，所以三角形ABC为直角三角形，设该三角形面和为S，则S=AC*BC/2，即AC*BC=2S，由题意知OC*OC=2S，即S=R*R/2——（1）
设角AOC=X，则三角形ABC的面积又可等于三角形AOC与三角形BOC的面积和，即
S=R*RsinX/2+R*Rsin(180-X)/2=R*RsinX——（2）
由（1）（2）得sinX=1/2，X=30度 或 X=150度
三角形AOC为等腰三角形，而内角和为180度，所以角CAB=（180-30）/2=75度
或角CAB=（180-150）/2=15度

两位解答基本正确，我用图解释。红蓝两线显示了两种不同的情况。

以C1情况作说明：作CH垂直于AB于H，AC×BC=两倍ABC的面积，设圆半径为r,那么依题意，AB×CH=AC×BC=r平方，又由于AB=2r，所以CH=r/2，所以在RT三角形CHO内，即可算出角COH=30度，那么角A就是15度。75度的情况也是类似的。只不过反过来而已。

奥数问题：以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC的平方等于AC乘以BC，则角CAB等于多少？ AB为半圆O的直径C为AO中点CD垂直AB交半圆于D以C为圆心CD为半径画弧交AB于E。AB等于8求DEB图形的面积 在直径为AB=2R的半圆内,以AB为底作一个内接等腰梯形ABCD,求梯形的腰为多长时,梯形有最大周长, 在直径AB=2R的半圆内,以AB为底作一个内接等腰梯形ABCD,求梯形的腰为多少长时,梯形有最大周长, 如图,在RT三角形ABC中,角C=90度,AC=2,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆 以三角形ABC的一边BC为直径作半圆,交AB于E,过E点作半圆的切线恰与AC垂直,试证明BC长等于AC 以直角三角形的三边为直径作半圆,图中的阴影 已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点。 如图,Rt△ABC的面积为20cm的平方,在AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,求阴影部分的面积 AB为半圆的直径,OC垂直AB,D为OC的中点,过点D作弦EF//AB