线性代数 试题 求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 22:41:06
设矩阵A= 1 -1 1
X 4 Y
-3 -3 5

已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，求可逆矩阵P，使（P逆AP）为对角矩阵。
我求P啊！

把λ=2带入|λI-A|,得：[1 1 -1
-X -2 -Y
3 3 -3]
这个矩阵的秩为3-2=1，所以都和第一行平行，X=2，Y=-2
tr(A)=∑λ=10,所以另一个λ=6
对应的特征向量为P1，P2，P3，则P=（P1，P2，P3）
我求了一个p=[1,0,-1
0,1,2
1,1,-3]
用matlab算
inv(p)*A*p

ans =

2 0 0
0 2 0
0 0 6
当然P不唯一

由特征向量构成的矩阵就是可逆矩阵P，特征向量排列不同只影响最终的对角阵，特征向量就按上面的那位求，我就不敲了；

求特征值
|λE-A|=0
λ=2是A的特征值
那么，有
2-1 1 -1
-X 2-4 -Y
3 3 2-5
=
1 1 -1
-X -2 -Y
3 3 -3

第一行分别乘以X，3, 加到第二行，第三行
1 1 -1
0 X-2 -X-Y
0 0 0
λ=2是A的二重特征值
则
X-2=0
-X-Y=0
则，X=2,Y=-2
代入A中，再解
|λE-A|=0
λ-1 1 -1
-2 λ-4 2
3 3 λ-5
第一行乘以2，(λ-5),加到第2，3行
λ-1 1 -1
2λ-4 λ-2 0
(λ-5)(λ-1)+3 λ-2 0

=-(λ-2)^2