关于“n的4k+1次方再减去n为何能被10整除”的问题的答案的疑惑

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 20:34:31
以下是网络上通行的答案：

先证明n^5-n一定是10 的倍数
再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数 所以n^5-1是2的倍数
下面分情况讨论
n=5t/5t+1/5t+2/5t+3/5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数 (“/”表示或者）
而(2,5)互质 所以n^5-n是10 的倍数

所以当k=1时成立
假设当k=r时成立 即n^(4r+1)-n=10s
则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)
=n^4*10s+n^5-n
由于n^5-n是10的倍数
所以当k=r+1时也成立

这其中我基本上都看懂了，只是“n=5t/5t+1/5t+2/5t+3/5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数”这里面5t+2、5t+3、5t+4为什么也能得到n^5-n 是5的倍数呢？
小女子不才，实在无法理解，望高手指点江山，激昂文字。在此先谢过了。

（回答得具体清晰我会给分的，为了防止分被白白吞掉，先不悬赏了，大家不要介意啊~~我一定说话算话的O(∩_∩)O~）

以n=5t+2为例
n^5-n=(5t+2)^5-(5t+2)=(5t+2)*(5t+2)^4-(5t+2)=(5t+2)*[(5t+2)^4-1]
显然5t+2不是5的倍数,但是[(5t+2)^4-1]一定是5的倍数

因为5t+2这个数个位只能是2或7.如果只研究个位,那么2的4次方最后个位是6,减一个位就是5,显然是5的倍数;而7的4次方最后个位是1,减1就是0,所以也是5的倍数.

以此类推

如果还需要其他的具体过程.加QQ79980539

先证明n^5-n一定是10 的倍数
再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数 所以n^5-1是2的倍数
下面分情况讨论
n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数
而(2,5)互质 所以n^5-n是10 的倍数

所以当k=1时成立
假设当k=r时成立 即n^(4r+1)-n=10s
则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)
=n^4*10s+n^5-n
由于n^5-n是10的倍数
所以当k=r+1时也成立

这种方法很好,先证明n^5-n也就是证明了K=1的情况,然后就可以用数学归纳法证明了