已知三角形ABC中,AB=4,且|AC|,|AB|,|BC|成等差数列(1)求

以AB为X轴,AB中垂线为Y轴建立直角坐标系,则
A(-2,0) B(2,0)
已知|AC|,|AB|,|BC|成等差数列,所以
AC+BC=2AB=8
所以点C(x1,y1)的轨迹方程是椭圆(a=8/2=4,c=2):x^2/16+y^2/12=1
因为三角形ABC重心坐标G(x,y)满足:
x=(x1+x2+x3)/3
y=(y1+y2+y3)/3
且A的坐标和B的坐标相加等于0
所以x=x1/3,y=y1/3,即
x1=3x,y1=3y,代入上面的方程,得
G的轨迹方程:9x^2/16+3y^2/4=1

因为AB=4,且|AC|,|AB|,|BC|成等差数列，所以|AC|+|BC|=2|AB|=8，以AB所在直线为X轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
所以点C在以A、B为焦点的椭圆上，设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,
所以
2a=8,a=4,
2C=4,C=2,
b=2倍的根号3
所以椭圆的方程为x^2/16+y^2/12=1
设C点坐标为（X0，Y0），则由重心坐标公式（在学习向量那一章中有一个例题中有，请看书。若一个三角形的三个顶点坐标分别为（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则这个三角形的重心坐标为（ （x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 ).
设重心G的坐标为（x,y),则x=(x0)/3 ,y=(y0)/3，所以x0=3x,y0=3y
点C又在椭圆 上，所以（3x)^2/16+(3y)^2/12=1,化简得三角形ABC的重心的轨迹方程为(9x^2)/16+(3y^2)/4=1