2009年广州一模的一道数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 05:14:01
在区间〔0,1〕上任意取两个实数a，b则函数f(x)=1/2x^3+ax-b在区间〔-1,1〕上有且仅有一个零点的概率为 答案是7/8 我也看了答案解析 里面分了两种情况 f(-1)<0 ,f(1)>0和f(-1)>0,f(1)<0 但f(x)在[-1,1]上是增函数
所以应该只有第一种情况 不明白为什么 求解

是只有第一种情况，不过答案在分两种情况前没有讨论函数的单调性，此时就要分这两种情况了，因些答案也没错。

f'(x)=3/2x^2+a
由于a>0
所以f'(x)>0
所以f(x)是単凋的。

满足题目中条件，需要下式成立：
f(-1)*f(1)<0 即
因为f(-1)=-1/2-a-b恒<0
f(1)=1/2+a-b>0
则 1/2+a>b 此处b-a<1/2,b<a+1/2

当0<a<1/2时，b<1/2+a
当1/2<a<1时，b<1

P=∮（0，1/2）da∮(0,1/2+a)db + ∮（1/2,1）da∮(0,1)db 括号内表示积分上下限
＝(1/2a^2+1/2a) (0,1/2) +1/2
=3/8+1/2
=7/8