UC知道关于周期函数一句话的证明
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 16:39:22
(1)若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与x=b（b>a)都对称，则f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期
证明：
f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)
f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x)
Q1：
我可不可以这样证明
f(x)=f(2a-x)=f(2b-x)
f[x+2(b-a)]=f[(2a-x)+2b-2a]=f(2b-x)=f(x)
Q2:
为什么要规定b>a?
(2)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a∈0,+∞),则f(x)是周期函数，且6a是它的一个周期。
证明：
由f(x)=f(x-a)+f(x+a)①
得f(x+a)=f(x)+f(x+2a)②
①+②，得f(x-a)+f(x+2a)=0
即f(x-a)=-f(x+2a)
因此f(x)=-f(x+3a)③这一步是为什么，括号里面的为什么都加a?他怎么知道加a后等式还成立？
f(x+3a)=-f(x+6a)④和上面一样还是不明白。
③-④，的f(x)=f(x+6a)
问题在证明过程上写出来了
还有，还有没有别的方法证明了？
还有个小问题，在第二句话里，为什么规定常数a∈(0,+∞).我把括号打掉了，应该不影响阅读
证明：
f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)
f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x)
Q1：
我可不可以这样证明
f(x)=f(2a-x)=f(2b-x)
f[x+2(b-a)]=f[(2a-x)+2b-2a]=f(2b-x)=f(x)
Q2:
为什么要规定b>a?
(2)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a∈0,+∞),则f(x)是周期函数，且6a是它的一个周期。
证明：
由f(x)=f(x-a)+f(x+a)①
得f(x+a)=f(x)+f(x+2a)②
①+②，得f(x-a)+f(x+2a)=0
即f(x-a)=-f(x+2a)
因此f(x)=-f(x+3a)③这一步是为什么，括号里面的为什么都加a?他怎么知道加a后等式还成立？
f(x+3a)=-f(x+6a)④和上面一样还是不明白。
③-④，的f(x)=f(x+6a)
问题在证明过程上写出来了
还有，还有没有别的方法证明了？
还有个小问题，在第二句话里，为什么规定常数a∈(0,+∞).我把括号打掉了，应该不影响阅读
1 可以
2。题目要求证明周期是2(b-a），周期必须大于0，所以b>a
3，x属于实数，x+a也属于实数，将x=x+a代入就可以
这一步是为了容易看懂而已
比如有了f(x-a)=-f(x+2a)后，
令x=t+3a，有f(t+2a)=-f(t+5a)
所以f(x-a)=f(x+5a)
4同上
a大于0还是因为要证明周期是6a>0
Q1:可以
Q2:画画图就明白了，举例:b=a话只有一条对称轴（如二次函数），即非周期函数
Q3:f(x-a)=-f(x+2a)
设变量t，使t=x-a，即x=t+a
带入得f(t)=-f(t+3a)这个与f(x-a)=-f(x+2a)是等价的
Q4:同上