如何用映射法解决集合问题

集合论是当代数学的基础．学习集合，不仅应从本质上去理解与集合有关的各个概念、性质和运算法则，更重要的是在解题的过程中自觉地应用集合的语言和方法去表示各种数量关系，解决各种数学问题． 映射刻划的是两个集合之间元素的特殊对应关系，是我们进一步学习函数的基础，同时也是一个重要的数学方法．数学竞赛中的许多题目都与映射有关，恰当地使用映射法解题，可以使问题化繁为简、化难为易，有时还可以出奇制胜.

1．集合 （1）集合的概念．元素与集合、集合与集合的关系． （2）集合的运算法则． （3）集合的划分． 如果非空集合A1、A2、…、An都是集合A的子集，并且满足A1∪A2∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝Φ（1≤i＜j≤n），那 么（A1，A2，…，An）叫做集合A的一个划分．

2．映射 理解映射f：A→B的关键是抓住集合A中元素在集合B中的象的存在性和惟一性．根据映射中象与原象的不同状态，有下面几种很有用的特殊映射． （1）单射．对于映射f：A→B，如果A中不同的元素在B中有不同的象，那么称映射 f：A→B为集合A到集合B的单射． 对于单射f：A→B，有｜A｜≤｜B｜．这里｜M｜表示集合M中的元素的个数，下同． （2）满射．对于映射f：A→B，如果B中的每一个元素在A中都有原象，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的满射． 对于满射f：A→B，有｜A｜≥｜B｜． （3）双射．如果f：A→B同时是A到B上的单射和满射，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的双射．双射也叫做一一映射． 对于双射f：A→B，有｜A｜＝｜B｜．（配对原理）

例1 设集合A＝（－3，－2），已知x，y∈N，且x^3＋19y＝y^3＋19x，试判断a＝log（1/2）（x＋y）与A的关系． 导析：关键是确定a＝log（1/2）（x＋y）的取值范围．这是学生力所能及的，可鼓励学生积极参与． ∵ x^3－y^3＝19（x－y），且x，y∈N，x＞y， ∴ x^2＋x＋1≤x^2＋xy＋y^2＝19＜3x2． 由此及x∈N，得x＝3，从而y＝2． ∴ －3＜a＝log（1/2）5＜－2，即a∈A． 例2 某次乒乓球比赛，采用单淘汰制，从105名参赛选手中决出冠军，需进行多少场比赛? 导析：如果先算出第一轮的场数，第二轮的场数……然后相加，是比较