已知∠BAC在平面a内，P不属于a,∠PAB=∠PAC。求证：点P在平面a上的射影在∠BAC的平分线上

从P分别向AB、AC做垂线，分别交AB、AC于D、E，然后作出P在平面a的投影P'，连接P'D、P'E、PP'、P'A。

因为 ∠PAB=∠PAC PA=PA PD和PE分别垂直于AB、AC
所以 三角形PAD和三角形PAE全等 (AAS)
所以 AD=AE PD=PE

因为 PP'垂直于平面a
所以 PP'垂直于P'D和P'E
又因为 PD=PE PP'=PP'
所以 三角形PP'D和三角形PP'E全等 (HL)
所以 P'D=P'E

因为 P'D=P'E AD=AE P'A=P'A
所以 三角形P'DA和三角形P'EA全等 (SSS)
所以 ∠P'AB=∠P'AC
所以 P'在∠BAC角平分线上