数学奥赛问题（今天就要）

1.
x^2+px+q=0
x^2+qx+p=0只有一个公共根
那么
x^2+px+q=x^2+qx+p
px+q=qx+p
x=(p-q)/(p-1)=1
代入原方程，得：
1+p+q=0
所以p+q=-1
（p+q)^1999=(-1)^1999=-1
2.

a是方程x的平方-5x-1991=0的一个根
所以a^2-5a=1991
(a-2)^4+(a-1)^2-1
=(a-2)^4+a*(a-2)
=(a-2)[(a-2)^3+a]
=(a-2)(a^3-6a^2+13a-8)
=(a-2)[(a-1)(a^2-5a)+8(a-1)]
=(a-1)(a-2)(a^2-5a+8)
=(a-1)(a-2)(1991+8)
=1999(a-1)(a-2)
所以：
[(a-2)^4+(a-1)^2-1]/[(a-1)(a-2)=1999

1.设公共根为t，则t^2+pt+q=0,t^2+qt+p=0,两式相减，t=1。则p+q=-1，原式=-1

1，设公共根为a 代到1的2个方程里 相减后得出a=1 再把1带入方程得P+Q=-1
1999次方还是-1
后面一个还没算出来~

(1)设公共根为a
则（a^2）+pa+q=0
（a^2）+qa+p=0
上式减下式，得：（p-q）a=p-q
因为a是唯一的，所以（p-q）不等于0
所以a=1
所以1+p+q=0
所以p+q=-1
所以（p+q）的1999次方是-1
（2）题再等会儿