周期函数解析式的问题

函数f(x)在R上满足关系式f（2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x),且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
（1）.判断函数y=f(x)的奇偶性；
（2）.求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论

f(7-5-x)=f[7-(5+x)]=f(12+x)
同时f(7-5-x)=f(2-x)=f(2+x)
x是以10为周期的，所以(-3,7）区间为一个周期，其中以x=2为对称轴
如果是奇函数或者偶函数，一定有f(-1)=0,关于2对称得f(5)=0，与条件不符
所以是非奇非偶函数

由于关于x=2以及x=7对称，所以每10个单位区间就有两个根，所以一共有
4*（200+200+1）=802个根

(1) f(x)在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
f(0) ≠ 0. f(x) 不是奇函数。
f(-1) = f(2-3) = f(2+3) =f(5) ≠ 0, 即 f(-1) ≠ f(1)
f(x) 不是偶函数。

（2）f(x+7) = f(7-x) = f(2-(x-5)) = f(2+(x-5)) = f(x-3), 也就是
f(x) = f(x+10)
f(x)周期为10，
在闭区间 [4, 7]上， f(x)≠0 => 在 在闭区间 [7，10]上 f(x)≠0。
f(x) 在闭区间 [0, 10]上只有f(1)=f(3)=0,
f(x) = 0 在一个周期内有且仅有 两个根。
f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上 有2*(2005-(-2005))/10 = 802 个根。

Have fun with 周期函数!

（1）依题意,由f(2＋x)＝f(2－x),令x＝3
得f(-1)＝f(5).
若f(x)为偶函数,则f(-1)＝f(1)＝f(5)＝0,与题意闭区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾;
若f(x)为奇函数,则f(0)＝0,同理应舍去.
综上所述,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
（2）由f(2＋x)＝f(2－x)得f(x＋7)＝f(-x-3)
又f(7＋x)＝f(7－x),得f(-x－3)＝f(7－x)
令-x－3＝t,则f(t)＝f(t＋10).则f(x)是以最小正周期为10的周期函数.