三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a，CD=a,F为BE的中点

(1)证明：取AB的中点G，联结FG。
因为F为BE中点，所以FG为⊿ABE的中位线。
所以FG//AE且FG=AE/2=a。
因为AE⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC。
因为DC⊥平面ABC，所以FG//CD且FG=a=CD。
因此四边形CDFG是平行四边形。
故FD//CG。
因为FD不在平面ABC内，CG在平面ABC内，所以FD//平面ABC。

(2)（以下线段均表示向量，.表示内积）
AF.BD
=(AG+GF).(BC+CD)
=AG.BC+GF.BC+AG.CD+GF.CD
=a^2+0+0-a^2
=0
因此AF⊥BD。

另一种证法是以AC为边在平面ABC内另做正三角形ACH，则四边形AHCB为菱形。取CH的中点I，联结DI，则易证DI//AF（因为AH和DF平行且相等，从而AHDF为平行四边形）。DI，DB的长度可用勾股定理求出，而BI的长度在菱形AHCB中可用余弦定理求出，因此根据勾股定理的逆定理，DI⊥BD，从而AF⊥BD。