a=c*cosB,b=c*sinA

您好！

这题关键要分类讨论。

因为a=c cosB, b=c sinA，所以a<c, b<c.

根据三角形二边和大于第三边，有：a+b>c

a^2+b^2=c^2*(cosB)^2+c^2*(sinA)^2=c^2*[(sinA)^2+(cosB)^2]
=c^2[(sinA)^2+1-(sinB)^2]
=c^2[(sinA+sinB)(sinA-sinB)+1]
(根据和差化积公式有如下变化：)
=c^2[2*sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)*2*cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)+1]
(根据二倍角公式有如下变化：)
=c^2[sin(A+B)*sin(A-B)+1]

分3种情况讨论：
(i)当A>B时， sin(A+B)*sin(A-B)+1>1，所以a^2+b^2>c^2，
所以角C为锐角，所以三角形ABC为锐角三角形。

(ii)当A=B时，sin(A+B)*sin(A-B)+1=1，所以a^2+b^2=c^2，
所以三角形ABC为直角三角形。

(iii)当A<B时，sin(A+B)*sin(A-B)+1<1，所以a^2+b^2<c^2，
所以角C为钝角，所以三角形ABC为钝角三角形。

直角三角形