在直角梯形ABCD中,AD平行BC,顶点D,C分别在AM,BN上运动

（1）太简单，略。

（2）过点E作梯形两底的平行线交腰CD于F，则F是CD的中点，
则EF既是梯形ABCD的中位线，又是Rt△DEC斜边上的中线。
根据各自的性质：
AD+BC=2EF，CD=2EF
所以 AD+BC=CD.
由△EFD是等腰三角形 [FD=FE=(1/2)CD]得
∠FDE=∠FED
由EF‖AD可得 ∠ADE=∠FED
∴∠FDE=∠ADE，
即DE平分∠ADC；

同理可证：CE平分∠BCD。

（3）设AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x^2+m^2=(a-x)^2
化简整理得：a^2-m^2=2ax..... ①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m

因为△ADE∽△BEC，
所以AD/BE=AE/BC=DE/EC，
即：x/(a-m)=m/BC=(a-x)/EC，

解得：
BC=(a-m)m/x，
EC=(a-m)(a-x)/x.

所以△BEC的周长=BE+BC+EC=(a-m)+(a-m)m/x+(a-m)(a-x)/x
=(a-m)(1+m/x+(a-x)/x)=(a-m)(a+m)/x
=(a2-m2)/x........ ②
把①式代入②式，得△BEC的周长=BE+BC+EC=2ax/x=2a，
所以△BEC的周长与m无关。