两道高数极限问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 13:21:34
1.当x趋向于0时，[（1+x)^(1/x)-e]/x的极限是多少？
2.当x趋向于0时，x^2(cos(1/x)-1)的极限是多少？

第二题我用无穷小乘以有界等于0，为什么错了，答案是-1/2.
谢谢帮忙！
麻烦列出过程。

1、(1+x)^(1/x)＝e^(ln(1+x)/x)
(1+x)^(1/x)－e＝e×[e^(ln(1+x)/x－1)－1]等价于e×(ln(1+x)/x－1)＝e×(ln(1+x)-x)/x，所以
原式＝e×lim(x→0) (ln(1+x)-x)/x^2x＝e×lim(x→0) (1/(1+x)－1)/(2x)＝－e/2×lim(x→0) 1/(1+x)＝－e/2

2、如果是x→0的话，你的做法没错，如果是x→∞，结果是－1/2
x→∞时，1－cos(1/x)等价于1/2×(1/x)^2，替换即得－1/2

没错

1. -e/2
2. 0