高二的曲线基本题

当k=0时，M就是O点，符合题意
当k不等于0时，则AB的方程为y=k（x+2）
代入椭圆方程得到x^2(4+k^2)+4x*k^2+4k^2-4=0
判别式Δ=16k^4-16(4+k^2)(k^2-1)>0
所以k^2<4/3
设A（x1，y1）B（x2，y2）
则M（（x1+x2）/2,(y1+y2)/2）
根据方程得x1+x2=-4k^2/(4+k^2)
而y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=16k/(4+k^2)
所以M（-2k^2/(4+k^2),8k/(4+k^2)）
这理你画画图就知道，由于Q的位置决定了这种情况下只可能过顶点C（1，0）
现在问题就转化成CQM三点共线求k了。
CQ的方程为x+y=1，将M的坐标代入得到一个关于k的方程：3k^2-8k+4=0
所以k=2/3,k=2应该舍去，因为k^2<4/3
综上所述k=0或2/3

当k=0时~~~AB即为短轴~~QM即为长轴~~过顶点

y=k(x+2)

x^2+y^2/4=1

4x^2+k^2(x+2)^2=4

(k^2+4)x^2+(4k^2)x+(4k^2-4)=0

Delta = (16k^4)-4(4k^2-4)(k^2+4) = (16k^4)-4(4k^4+16k^2-4k^2-16)

= 64-48k^2

x1,2 = (-4k^2+/-根号(64-48k^2))/(2k^2+8)

x1 = (-2k^2+2根号(4-3k^2))/(k^2+4)

x2 = (-2k^2-2根号(4-3k^2))/(k^2+4)

(x1 + x2)/2 = (-2k^2)/(k^2+4)

y=k(x+2) = 8k/(k^2+4)

M((-2k^2)/(k^2+4),8k/(k^2+4))

Q(0,1)