梯形ABCD中,AB‖CD,∠B=90°,M是BC的中点,MN⊥AD，垂边为N,求证:S梯形ABCD=MN×AD

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 08:50:08
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过点M做EF//AD，交AB，DC与EF，
因为M是BC的中点，BM=MC，∠ABC=∠BCD，
推出△FCM=△EBM，
即S△FCM=S△EBM，
而AB//DC,AD//EF,
四边形AEFD为平行四边形，
且MN⊥AD
平行四边形SAEFD=MN×AD=S梯形ABCD

只要证明三角形AMD的面积是梯形面积的一半即可.
事实上,Smcd+Smba=cd*mc/2+ab*mb/2=(cd+ab)*bc/4=Sabcd/2.

连接DM,连接AM,AM的延长线DC的延长线交于E
因DC‖AB, CM=MB
所以：三角形AMB全等于三角形EMC
三角形AMB面积=三角形EMC面积
AM=ME
所以：梯形ABCD面积=三角形ADE面积
三角形ADM面积=三角形DEM面积=(1/2)三角形ADE面积
所以：梯形ABCD面积=三角形ADE面积=2*三角形ADM面积=MN*AD