(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证:F(x)=1/2[f(x)+f(-x)]是偶函数;

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 06:21:56
(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证:F(x)=1/2[f(x)+f(-x)]是偶函数;
G(x)=1/2[f(x)-f(-x)]是奇函数

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F(x)=1/2[f(x)+f(-x)]

F(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]

F(x)=F(-x) 得证

G(x)=1/2[f(x)-f(-x)]

G(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]=-1/2[f(x)-f(-x)]=-G(x) 得证

设a属于R a和-a为一对相反数
分别带入F(x)
F(a)=1/2[f(a)+f(-a)]
F(-a)=1/2{f(-a)+f[-(-a)]}=1/2[f(a)+f(-a)]
F(a)=F(-a)
所以F(x)=F(-x)
F(x)=1/2[f(x)+f(-x)]是偶函数
分别带入G(x)
G(a)=1/2[f(a)-f(-a)]
G(-a)=1/2{f(-a)-f[-(-a)]}=1/2[f(-a)-f(a)]
G(a)=-G(-a)
所以G(x)=-G(-x)
G(x)=1/2[f(x)-f(-x)]是奇函数

首先定义域关于原点对称没问题，其次F(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]=F(x),所以为偶函数;G(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]=-1/2[f(x)-f(-x)]=-G(x)所以为奇函数！