高中数学题 会者来答

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 01:31:50
f(x)的定义域为（-无穷 0）并（0 +无穷） 对其定义域上所有的任意的X1 ，X2 均有f(X1*X2) = f(X1) + f(X2) 且 当 X > 1 时 , f(X)>0 ,且 f(2)=1，
(1) 证明f(x)为偶函数
（2）证明f(x)在（0 + 无穷）是增函数
（3 证明f(2X^2 - 1)<2

(1)证明.令x1=x2=1，则有f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
令x1=x2=-1，则有f(1)=f(-1)+f(-1)，f(-1)=0
令x1=-1,x2=x，则有
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
又因为定义域对称
所以f(x)是偶函数；
(2)设0<x1<x2,则x2/x1>1
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
所以f(x)在0到正无穷是增函数
(3)因f(x)在0到正无穷是增函数且f(x)是偶函数，
所以f(x)在负无穷到0是减函数
令x1=x2=2,则有f(4)=f(2)+f(2)=2
则f(-4)=f(4)=2
F(2x²-1)<2=f(4)=f(-4)
则-4<2x²-1<4且2x²-1≠0
解得-√10/2<x<√10/2且x≠±√2/2

特殊值法