UC知道高三解析几何椭圆结合代数最值的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 04:36:01
过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的中心任作2条互相垂直的射线交椭圆于A,B两点
求证：2ab/√(a^2+b^2)≤|AB|≤√(a^2+b^2)
这到题我的思路呢是设参数K，-1/K的方程
那么可以的到A，B两点含K的座标
再勾股.a,b是定值，但是到后面用代数处理极值时弄不出来了。。
在线等高手
求证：2ab/√(a^2+b^2)≤|AB|≤√(a^2+b^2)
这到题我的思路呢是设参数K，-1/K的方程
那么可以的到A，B两点含K的座标
再勾股.a,b是定值，但是到后面用代数处理极值时弄不出来了。。
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你用椭圆参数方程就很简单
设A(acosx,bsinx),B(acosy,bsiny)
那么OA⊥OB等价于a^2cosxcosy+b^2sinxsiny=0
也就是a^2(cos(x+y)+cos(x-y))+b^2(cos(x+y)-cos(x-y))=0
解得cos(x-y)=-c^2/(a^2+b^2)cos(x+y)
那么AB^2
=a^2cos^2x+b^2sin^2x+a^2cos^2y+b^2sin^2y
=2a^2-c^2(sin^2x+sin^2y)
=2a^2-c^2(1-cos2x+1-cos2y)/2
=2a^2-c^2(1-cos(x+y)cos(x-y))
=2a^2-c^2(1+c^2/(a^2+b^2)cos^2(x+y))
当cos(x+y)=0,AB^2取最大值=2a^2-c^2=a^2+b^2
当cos(x+y)=1,AB^2去最小值=2a^2-c^2-c^4/(a^2+b^2)=a^2+b^2-(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=4a^2b^2/(a^2+b^2)
即2ab/√(a^2+b^2)≤AB≤√a^2+b^2
得证
你把你处理的发来看看