函数y=sinx+cosx(0≤x≤π/2)的值域等于?
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 00:23:37
y=sinx+cosx (0≤x≤π/2)
注意:y是两个函数sinx和cosx的叠加,而这个两个函数在0≤x≤π/2区间的单调性不一致:
当x从0到π/2时,
sin(x)从0单调增加到1,而
cos(x)从1单调降到0。
由于,sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2区间的单调性不一致,
所以,你只有把两个函数化成一个来做
y=sinx+cosx(0≤x≤π/2)
=(根号2)*sin(x+π/4) (0≤x≤π/2)
由于,0≤x≤π/2
所以,π/4≤x+π/4≤(3/4)*π
但你要知道,若令z=x+π/4, 当z从π/4变化到(3/4)*π,
此时,sin(z)并不“在整个区间里”单调变化,此时,
当z从π/4变到π/2,sin(z)从sin(π/4)单调增加到1
当z从π/2变到(3/4)*π,sin(z)从1单调减少到sin((3/4)*π)
所以,sin(z)在z=π/2,达到最大值为1,即
(根号2)*sin(x+π/4) 达到最大值为1*(根号2)=根号2
sin(z)在z=π/4和z=(3/4)*π,达到最小值为sin(π/4)=1/(根号2),即
(根号2)*sin(x+π/4) 达到最小值为 (根号2)*〔1/(根号2)〕=1
综上,(根号2)*sin(x+π/4) 当0≤x≤π/2时,
最大值 根号2,
最小值 1
值域y属于[1,根号2]
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其实,这道题,你把sin(x)和cos(x)在同一坐标系中(0≤x≤π/2)时的图像画出来,由于sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2上对称和单调,所以,可以很容易的想到
最小值出现在0≤x≤π/2的两个区间端点0或π/2上,而最大值出现在0≤x≤π/2的中点π/4上