直线的参数方程中的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 19:31:39
已知曲线x=2√2cos θ,y=2sinθ(θ为参数）和定点P（4，1），过P的直线与曲线交于A，B两点，若线段AB上的点Q使得PA：PB=AQ：QB成立，求动点Q的轨迹方程

擦地板。。。这么复杂的圆锥曲线只给30分。。。

椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1 （2）

设Q(x1,y1),设l过p点:y=kx+b（1）,且1=4k+b(8)，y1=kx1+b（9）

（1）式代入（2）式整理得

（1+2k^2）x^2+4kbx+2b^2-8=0 （3）

delta=8(8k^2-b^2+4)>0 (4)要求恒成立

PA：PB=AQ:QB 得：

(4-xA)/(4-xB)=(xA-x1)/(x1-xB)

整理得:

8x1-(xA+xB)(x1+4)+2xAxB=0 （7）

对（3）运用韦达定理代入（7）得

x1(k^2+2kb+4)+8kb+2b^2-4=0

(8)式b=1-4k代入得

x1(2k-7k^2+4)=8k+2 (10)

（8） 式代入(9)得k=(y1-1)/（x1-4）(11)

（11）式代入(10)式整理，消去k就可算出x1与y1的关系