求解一道先积分再求极限问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 08:57:44
式子为 lim(lim（积分函数）)

其中积分函数为 ax/((x-b)^2+a^2) ，积分上下限为(-L,L)
最外层（第一个）极限为a趋近于正0，内层（第二个）极限为L趋近于正无穷

∫（-L,L）ax/((x-b)^2+a^2) dx
=a*∫（-L,L）x/((x-b)^2+a^2) dx
=a*∫（-L,L）[(x-b)+b]/((x-b)^2+a^2)dx
=a*{1/2*∫（-L,L）1/((x-b)^2+a^2)d(x-b)^2+b*∫（-L,L)1/((x-b)^2+a^2)dx
=a*{1/2*In[(x-b)^2+a^2]}(从-L到L)+a*b*1/a*arctan[(x-b)/a]（从-L到L）
=a/2*{In[(L-b)^2+a^2]/[(L+b)^2+a^2]+b*arctan[(L-b)/a]-b^2arctan[(-L-b)/a]
再求当L趋近于无穷时的极限
lim a/2*{In[(L-b)^2+a^2]/[(L+b)^2+a^2]+b*arctan[(L-b)/a]-b^2arctan[(-L-b)/a]
=a/2+b*π
由此再求当a趋近于0的极限
lim a/2+b*π
=π*b

∫（-L,L)1/((x-b)^2+a^2)dx
这里房主仔细写一下
把分母上的a^2提出来，变成
1/a^2 *∫（-L,L)1/([(x-b)/a]^2+1)dx
=1/a *∫（-L,L)1/([(x-b)/a]^2+1)d(x-b)/a
=1/a*arctan[(x-b)/a]（从-L到L）