两道道几何题要用赛瓦定理的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/27 22:18:26
1.已知三角形ABC, 和他的内切圆心，从顶点到另外一个点的相切线相交于同一个点，请用赛瓦定理（ceva theorem）来证明：
注意，这个相交点和内切圆心一般情况都不一样，每个切式线都不是三角形ABC的角平分线和高
2已知线AD和BE还有CF平行，求证 AF/FB*BD/DC*CE/EA=1

1. 圆与三角形切于D，E，F三点，所以

AF = AE
BF = BD
CD = CE

AF/BF * BD/CD * CD/AE = 1
由赛瓦定理知， AD, BE, CF 三线共点

2. 这是赛瓦定理的特殊情况，可以看做赛瓦点在无穷远处。实际上它的证明比赛瓦定理的一般情况的证明更为简单，可以直接用相似三角形的比例关系。
由相似三角形的比例关系可以得到

AF/BF = AC/CE
BD/CD = AE/AC

AF/FB*BD/DC*CE/EA = AC/CE * AE/AC * CE/EA =1