在平面直角坐标系XOY中,已知圆C1:(x+3)^2+(y-1)^2=4,和圆C2:(x-4)^2+(y-5)^2=4
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/24 21:54:02
设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1,L2;它们分别与圆C1和C2相交,且直线L1被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
这些题目,咋一看,觉得很复杂,其实就是想考查同学们的耐心与细心,耐心读题,细心分析,认真画图,分析题目的实际意图。话说数少形时难直观,就是这个意思啊。
设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为:
y-n=k(x-m),y-n=-1/k(x-m)
即kx-y+n-km=0,-x/k-y+n+m/k=0
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等
由垂径定理,得:圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等
∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)
化简,得:(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5
关于x的方程有无穷多解,有:2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0
解得:点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2)
因为圆C1与圆C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆 C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,列出等式即可,但是字母运算较复杂,考察考生的耐心与细心。
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