极限问题：已知直角三角形ABC,C=90°,B=30°，AC=4，圆O1为三角形ABC的内切圆

首先画图、作辅助线O1C1垂直于AC，O2C2垂直于AC……OnCn垂直于AC，O1C1既为圆O1的半径。连接AO1，并延长，与BC交于点D
设圆O1的半径为R1，O2半径为R2，O3半径R3……On半径为Rn
你会发现，三角形AC1O1与三角形ACD相似。同理所有三角形ACnOn与ACD都是相似的。
所以R1=KCD(K为未知系数，并且小于1），R2=KR1，R3=KR2=K²R1，R4=KR3=K³R1……Rn=K的n-1次方乘以R1
所以，所有圆面积和=πR²×（1+K²+K³+……+K的n减1次方）（括号内的等比数列自己套用等比数列公式计算），因为K是小于1大于0的，所以这个三角形面积可以确定。

现在关键是求R和K

三角形ACD各边都容易求。那么三角形ACD的内切圆的半径R1也不难算。同样CD的长度也不难算。R1=KCD，知道了R和CD长度，因此K也就求出来了。K和R都知道了，那么所有圆面积和πR²*（1+K²+K³+……+K的n减1次方）就知道了，哈

做这种几何题目，画图分析就很容易了。 话说一楼的回味无穷，有你这么一个一个算的么哈。别误导小朋友了O(∩_∩)O哈哈~

好题！

第一个圆的半径为：R1=(a+b-c)/2=[(4√3)+4)-8]/2=1.464

第二个圆的半径为：R2计算如下。

√2(R1)=R1+R2+(R2/√2)  -->  R2=(R1)(3-2√2)=0.1716(R1)

第n个圆的半径为: Rn, 与此类推，为等比级数。

所有圆的面积之和= (R1)²π+(R2)²π+(R3)²π+…..

=(R1)²π [1+(3-2√2)+(3-2√2)²+ (3-2√2)³+(3-2√2)^4+…..]  (等比级数)

=(R1)