一道直线与双曲线的题(解答步骤完整并有正确结果追加50分)

设P(w,kw+4),Q(z,kz+4)
将y=kx+4 代入x²-3y²=8
可得(1-3k²)x²-24kx-56=0，
因为有两交点，说明判别式Δ=224-96k²≥0
解得：-(√21)/3≤k≤(√21)/3

由韦达定理得w+z=24k/(1-3k²),wz=56/(3k²-1)
所以OP*OQ=wz+(kw+4)(kz+4)=56(k²+1)/(3k²-1)+16+4k*24k/(1-3k²)=8(k²+5)/(3k²-1)
由20/3≤OP·OQ≤ 40/3可得：
-(√35)/3≤k≤-(√15)/3或(√15)/3≤k≤(√35)/3
结合判别式得到的不等式可得：
-(√21)/3≤k≤-(√15)/3或(√15)/3≤k≤(√21)/3

设P(x1,y1),Q(x2,y2)
连列方程组把y=kx+4 代入x^2-3y^2=8
得x^2-（kx+4 ）^2=8
展开得（1-k^2)x^2-8kx-24=0，然后用维达定理得x1+x2=8kx/(1-k^2),x1*x2=(-24)/(1-k^2)
所以y1*y2=k^2x1x2+4k(x1+x2)+16
OP(向量)·OQ(向量)=x1x1+y1y2
下面只要代进去解不等式就好了。就自己算吧