幂级数的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 17:23:51
∑（∞ n=0）(-1)^nx^(2n)=∑（∞ n=0）(-x^2)^n=1/(1+x^2) x∈（-1，1）

请问是如何得出1/(1+x^2)的 ？有人说这是个基本公式？还有人说先等比求和在求极限，可我怎么也算不出来？谁详细帮我解答下，谢谢

设t=-x^2 x∈（-1，1）
所以t∈（-1，0）
原式=∑（∞ n=0）t^n
显然收敛半径R为1
t小于1 说明收敛可当等比数列求n项和的极限求 q=t a1=1(n=0)
∑（∞ n=0）t^n=Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(1-t^n)/(1-t)
=lim(n→∞） (1-t^n)/(1-t) （t小于1）
=1/（1-t)
=1/(1+x^2)

至于基本公式。。同济5版下 P208页