高一函数单调性结论证明

这些结论怎么证明：
（1）当f(x)恒为正（或恒为负）时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反；

（2）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数=减函数等。

1、
假设f(x)<0
若f(x)递减
即a<b时，0>f(a)>f(b)
则1/f(a)-1/f(b)=[f(b)-f(a)]/[f(a)f(b)]
f(a),f(b)都小于0，所以分母大于0
f(a)>f(b),分子小于0
所以1/f(a)-1/f(b)<0
即a<b,1/f(a)<1/f(b)
即1/f(x)递增，所以此时单调性相反

若f(x)递增
即a<b时，0>f(b)>f(a)
则1/f(a)-1/f(b)=[f(b)-f(a)]/[f(a)f(b)]
f(a),f(b)都小于0，所以分母大于0
f(a)<f(b),分子大于0
所以1/f(a)-1/f(b)>0
即a<b,1/f(a)>1/f(b)
即1/f(x)递减，所以此时也是单调性相反

若f(x)>0
则得到的式子完全一样，唯一区别是分母中f(a),f(b)都是大于0，所以得到分母大于0
所以可以得到相同的结论

2、
假设f(x),g(x)是增函数
公共定义域是(m,n)
则对m<a<b<n,有f(a)<f(b)
g(a)<g(b)
令h(x)=f(x)+g(x)
则h(a)-h(b)=f(a)-f(b)+g(a)-g(b)
由f(a)<f(b)，g(a)<g(b)
所以h(a)-h(b)<0
即m<a<b<n,h(a)<h(b)
所以f(x)+g(x)仍是增函数

假设f(x)是增函数,g(x)是减函数
公共定义域是(m,n)
则对m<a<b<n,有f(a)<f(b)
g(a)>g(b)
令h(x)=f(x)-g(x)
则h(a)-h(b)=f(a)-f(b)-g(a)+g(b)