若f(x)在R上可导,证明若f(x)为偶函数,则f'(x)为奇函数
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/18 00:03:19
f(-x)在x=a处导数与f(x)在x=-a处导数相等
g(x)=f'(x)
若是奇函数则g(a)=-g(-a),a任意
g(a)=f'(a)=lim(f(a+dx)-f(a))/dx
g(-a)=lim(f(-a+dx)-f(-a))/dx
由于f(x)是偶函数,即f(-t)=f(t),
g(-a)=lim(f(a-dx)-f(a))/dx
又由于f(x)在R上可导,由可导的定义我们知道:其左右导数相等。
即:若f(x)在R上可导,
则,lim(f(x+dx)-f(x))/dx=lim(f(x)-f(x-dx))/dx
故,g(-a)=-lim(f(a)-f(a-dx))/dx=-lim(f(a+dx)-f(a))/dx
由前面得到的g(a)=f'(a)=lim(f(a+dx)-f(a))/dx
我们容易知道:g(a)=-g(-a)
所以,由a的任意性,我们得到:g(x)是奇函数,即f'(x)是奇函数。
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若f(x)在R上可导,证明若f(x)为偶函数,则f'(x)为奇函数
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