数学，向量和不等式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 14:43:18
a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb（k>0）且向量m和n的夹角的余弦值为f（k），
1.求f（k）的表达式
2。在1的条件下解关于k的不等式，f（f（k））<-3ak^2+(a^2+4)k/k^4+6k^2+1(a属于实数）

（1）∵a，b是两个互相垂直的单位向量
∴|a|=1，|b|=1，a·b=0
f（k）=cos<m,n>
=（m·n）/（|m|·|n|）
=[（ka+b）·（a+kb）]/[√(ka+b)²·√(a+kb)²]
=2k/（k²+1）
（2）f（f（k））=（4k³+4k）/（k^4+6k²+1）
∵k^4+6k²+1≥1
∴不等式可化简为:4k³+4k＜3ak^2+(a^2+4)k
打开括号,整理移项可得:4k³+3ak²-a²k＜0
当k＝0时,0＜0,不符合题意
当k＞0时,4k²+3ak-a²＜0,
此时,△=25,a²≥0,没有小于0的解集,舍
当k＜0时,4k²+3ak-a²＞0,
此时,△=25,a²≥0,解集是R
此时，k＜0
综上k＜0

提示：m*n=|m||n|f(k)
其中*为内积

f(k)=2k/(1+k^2)