行列式的一个问题

设A反对称，则A^T=-A,
若A的阶n为奇数，则det(A)=det(A^T)=det(-A)=(-1)^n det(A) =-det(A)
=>det(A)=0 (det(A)=|A|表示A的行列式)
一般情况下，先讨论A的特征值。任取(lambda,a)是A的一个特征对，即Ax=ax,可见A^T A x=-A Ax=-a Ax=-a^2 x
而||Ax||^2=x^T A^T A x=-a^2 ||x||^2>=0 （||x||代表x的二范数），故a^2<=0，故a为0或纯虚数。上面已经讨论过当A的阶n为奇数时，det(A)=0，所以我们下面只需要讨论n为偶数的情况。我们知道，A的行列式等于A所有特征值的积。如果A有0特征值，则det(A)=0。若A所有特征值都为纯虚数，我们知道det(lambda*I-A)是一个实多项式，所以det(lambda*I-A)只有实根和共轭复根，所以A只能有实特征值和共轭复特征值，而A的特征值只能是0或纯虚数，又假设了无0特征值，所以A所有的特征值都是成纯虚共轭对出现。这样，det(A)=lambda_1*lambda_2*...*lambda_n，设labmda_(2i)是lambda_(2i-1) 的共轭 (i=1,2,...,n/2),这样det(A)是n/2对[纯虚共轭对的积]的积，故大于0.

综上所述，n为奇数时,det(A)=0,n为偶数时，若A有0特征值，则det(A)=0,若不然，det(A)>0。事实上，n为偶数时，det(A)等于A的Pfaffian的平方。

反证法
根据定义