已知a,b是正数 a+b=1 x1,x2是正书 求证（ax1+bx2）(bx1+ax2)≥x1x2

因为a≥0，b≥0，a+b=1
所以1≥a≥0,1≥b≥0
又以为,b=1-a
则(ax1+bx2)(ax2+bx1)=[x1-b(x1-x2)][x2+b(x1-x2)]
=x1x2+bx1(x1-x2)-bx2(x1-x2)-(b^2)(x1-x2)^2
=x1x2+b(x1-x2)^2-(b^2)(x1-x2)^2
=x1x2+(b-b^2)(x1-x2)^2
因为1≥b≥0,所以b≥b^2
则(b-b^2)(x1-x2)^2≥0
即：(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.

展开左式,欲证结论即:
abx1^2+abx2^2+(a^2+b^2)*x1x2≥x1x2
即ab(x1^1+x2^2)+(a^2+b^2)*x1x2≥x1x2
因x1,x2为正实数,故x1^1+x2^2≥2x1x2
那么左式≥ab(2x1x2)+(a^2+b^2)*x1x2
=x1x2(a^2+2ab+b^2)
=x1x2(a+b)^2=x1x2

即（ax1+bx2）(bx1+ax2)≥x1x2