线性代数相关问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 08:45:46
对于n阶矩阵，矩阵的秩和其伴随阵的秩有如下关系：当r（A）=n时有r（A*）=n；当r（A）=n-1时有r（A*）=1；当r（A）<n-1时有r（A*)=0.如何证明？
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看图

当r(A)=n的时候，A可逆，tA*=det(A)*A^(-1)，所以显然有r(A*)=n
当r(A)<n-1的时候，根据迭的定义，所有n-1阶的子矩阵的行列式值都是0，根据伴随矩阵的定义，显然有A*=0，那么r(A*)=0。
当r(A)=n-1的时候，det(A)=0。又0=det(A)*In=A(tA*)，所以考虑组成A*的转置矩阵(tA*)的列向量b1,b2,...,bn，必定有Ab1=Ab2=...=Abn=0，也就是说这些列向量都在Ker(A)内。由于r(A)=n-1，所以dim(Ker(A))=1，也就是说b1,...,bn都在同一个一维的子空间内，所以它们共线，于是tA*的迭就是1，A*也是这样。所以r(A*)=1。