一道概率的难题（大学级）

回答：

在Δt时段内，呼唤1次的概率时λΔt，呼唤0次的概率就是(1-λΔt)。

将(0, t)时段分成长度为Δt的时段，那么共有(t/Δt)段。于是，问题变成“二项分布”问题。呼唤k次的概率就是

C(t/Δt, k)[(λΔt)^k][(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]

对上式求Δt→0时的极限。因子C(t/Δt, k)[(λΔt)^k]的极限等于[(λt)^k]/k!；因子[(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]的极限等于e^(-λt)。于是，全式的极限是{[(λt)^k]/k!}e^(-λt)。这就是说，在（0，t）这段时间内恰好呼唤k次的概率Pk(0, t)为

Pk(0, t)＝{[(λt)^k]/k!}e^(-λt)，t>0, k=0, 1, 2, 3, ...。

这是著名的“泊松过程”。

这是道考研题