跪求学长学姐们解决新高一的假期数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 19:23:12
求证：当p,q都是奇数时，方程x²+2px+2q=0(p²-2q>0)的根都是无理数
要具体过程（好的话会追加分）

若x²+2px+2q=0有根为有理数 不妨设为a/b
a,b互质
带入
a^2/b^2+2pa/b+2q=0
a^2+2pab+2qb^2=0
a^2=-2pab-2qb^2 为偶数
于是a为偶数，a,b互质，b是奇数
于是2pab+2qb^2可被4整除
于是pab+qb^2为偶数
而pab是偶数，qb^2是奇数
于是pab+qb^2为奇数
矛盾
所以
方程x²+2px+2q=0(p²-2q>0)的根都是无理数