求函数题一道？

keyidao

已知函数f(x)=log4(底数）(1+4^x)(对数），g(x)=(k-1)x,F(x)=f(x)-g(x),且F（x)为偶函数。
1.求k的值
2.求证：函数y=f(2x)与函数y=g(2x+m),(m小于等于1）的图像最多只有一个交点。

1.
F(x)=f(x)-g(x)=log4(底数）(1+4^x)(对数）-(k-1)x
F(-x)=f(-x)-g(-x)=log4(底数）(1+4^-x)(对数）+(k-1)x
=log4(底数）(1+4^x/4^x)(对数）+(k-1)x
=log4(底数）(1+4^x)(对数）-log4 4^x+(k-1)x
=F(x)=log4(底数）(1+4^x)(对数）-(k-1)x
-(k-1)x=-log4 4^x+(k-1)x=-x+(k-1)x
1-k=-1+k-1
k=3/2
2.
y=f(2x)=log4 (1+4^2x)
y=g(2x+m)=0.5(2x+m)=x+m/2
log4 (1+4^2x)=x+m/2
log4 (1+4^2x)-x=m/2
因为log4 (1+4^2x)-x=log4 (1+4^2x)/4^x
而(1+4^2x)/4^x=1/4^x+4^x≥2
所以log4 (1+4^2x)-x=log4 (1+4^2x)/4^x≥log4 2=0.5
又因为m≤1，所以m/2≤1/2，结合log4 (1+4^2x)-x≥1/2，两个函数又都是连续的，所以至多有一个x可以使得等式成立。
所以函数y=f(2x)与函数y=g(2x+m),(m小于等于1）的图像最多只有一个交点

楼主是高中吗？我找的是高一的题目。