数学题 求解 高分- -

b²=4-4a²>0
所以0<a²<1

m=a²(1+b²)
=a²(1+4-4a²)
令x=a²
则x>0
m=x(5-4x)=-4x²+5x
=-4(x-5/8)²+25/16
x>0
所以x=8/5,m最大=25/16

y=√[a²(1+b²)]=√m
所以最大=5/4

解：设a=sinx，b=2cosx
令sinx^2=t,0<t<=1
y=[a*(1+b^2)^0.5]^2
=a^2(1+b^2)
=sinx^2(1+4cosx^2)
=sinx^2(1+4-4sinx^2)
=sinx^2(5-4sinx^2)
=t(5-4t)
=5t-4t^2
=25/16-4*(t-5/8)^2
t=5/8
y最大值=根号(25/16)=5/4

用三角函数解，设a=sinx，b=2cosx，0<x<90°

解：因a^2+b^2/4=1,则b^2=4(1-a^2)代入得

y=[a(1+b^2)]^(1/2)
=[-4a^4+5a^2]^(1/2)
令x=a^2,y=[-4x^2+5x]^(1/2)
[]内是抛物线，二次项系数小于零，有最大值为(4AC-B^2)/4A=-5^2/[4*(-4)]=5^2/4^2

所以所求最大值ym=[5^2/4^2]^(1/2)=5/4

这道题的正解应该比楼上都要简单，只用均值不等式即可解决本题，解答如下：
y=a√(1+b^2)=2a*√(1/4+b^2/4)
由均值不等式：
2ab<=a^2+b^2可得：
2a*√(1/4+b^2/4)<=a^2+1/4+b^2/4=1+1/4=5/4
显然最大值为5/4
由均值不等式等号成立