一道三角形面积的函数问题

（1）三角形面积公式里面有这个：
S = 1/2 * ab cosC （1/2的两边长乘以这两边夹角的余弦值）
用ABC的面积 S1 减去 ARQ、BRP、CQP的面积（记为S2、S3、S4）就是S(x,y,z)
S1 = 1/2 * a * a * cos60° = 1/4 * a²
S2 = 1/2 * AR * AQ * cos60° = 1/4 * z(a-y)
同理， S3 = 1/4 * x(a-z)
S4 = 1/4 * y(a-x)
∴S(x,y,z) = S1-S2-S3-S4 = 1/4 * [a² - a(x+y+z) + (xy+yz+zx)]
= 1/4 * (xy+yz+zx)
（2）x+y+z=a
则，(x+y+z)² = x²+y²+z²+2(xy+yz+zx) = a²
x²+y²≥2xy,y²+z²≥2yz,z²+x²≥2zx
三式相加，得： x²+y²+z²≥xy+yz+zx
∴a² ≥ 3(xy+yz+zx)
即 xy+yz+zx ≤ a²/3 （等号成立当且仅当x=y=z=a/3）
于是，S(x,y,z)的最大值为 1/4 * a²/3 = a²/12