签了无效的劳动合同还可以索赔吗

劳动合同没有没有备案，并不代表劳动合同是无效的，劳动合同依然是有效的

公司不给你交社保就是违法了，你可以要求公司给你补交社保，如果你打算离职，还可以要求经济补偿金，工作满1年补偿1个月工资、满半年不满1年也是1个月，不满半年是半个月

双倍工资，看劳动合同签订的时间，如果从3月开始计算，那么没有双倍工资，如果是3月以后开始的时间，那么从4月开始到合同订的时间拿期间可以有双倍工资

先协商，让单位补交社保，协商不成去劳动局举报或者申请劳动仲裁，准备好证据、劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等

可以啊，因为单位的原因导致合同无效可以追讨属于你自己的权利

肯定是违规了.

看得出用人单位极不负责任.
你不用担心,可以使用法律来保护自己,根据《劳动法》的相关规定，用人单位必须跟员工签订劳动合同并购买保险，因此购买社保是必须的，属于强制保险，因此你可以跟用工单位协商解决，无果的情况下，申请劳动仲裁或向当地劳动保障部门反映并投诉，是可以得到有效解决的。

其证据就是证明跟单位有劳动关系，比如工资条，工牌等。
一般需要补交所欠的月份.