【高分】关于用函数值替换自变量的问题

例一:已知f(x)=2x+1,
求:f[f(x)]
解:因为:f(x)=2x+1,
所以,f[f(x)]=2f(x)+1=2[2x+1]+1=4x+3.

例二:已知:f[f(x)]=2X+1,
求f(x)
解:因为:f[f(x)]=2X+1,是一次函数,则内函数必为一次函数,
设,f(x)=ax+b,(a≠0),则有
f[f(x)]=a*f(x)+b
=a*[ax+b]+b
=a^2x+(ab+b),
而,f[f(x)]=2X+1,则有
a^2=2,
(ab+b)=1,
解方程得,a1=√2,a2=-√2,
b1=(√2-1),b2=-(1+√2).
则,f(x)=√2x+(√2-1),或f(x)=-√2x-(√2+1).

例三:已知a,b是常数，若f(x)=x*x+4x+3,f(ax+b)=x*x+10x+24，
求,(5a-b)的值.
解:f(x)=x*x+4x+3将aX+b代入
=（aX+b）^2+4(ax+b)+3
=（ax)^2+2ab*x+b*b+4a*x+4b+3
a^2=1
2ab+4a=10
b*b+4b+3=24
a=1,b=3或a=-1,b=-7

则,(5a-b)=2 .

例四:
已知函数f(x),g(x)都定义在实数集R上，且满足f(x)是偶函数，g（x）是奇函数，f(x)+g(x)=x^2+x-2，试求函数f(x),g(x)的解析式。
解:
f(x)+g(x)=x²+x-2...............(1)
再用(-X)去换X,得
f(-x)+g(-x)=(-x)²+(-x)-2=x²-x-2
因为f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，所以
f(x)-g(x)=x²-x-2...............(2)
(1)+(2)得
2f(x)=2x²-4，