求定义域在R上函数符合F（A*B)=A*F(B)+B*F（A)的解析式

解：
由题意
则：令xy=m，m1=x,m2=y
由于：
f(xy)=xf(y)+yf(x)
则：
两边同时除xy，得：
f（xy)/xy=f(x)/x+f(y)/y
即:
f(m)/m=f(m1)/m1+f(m2)/m2

令:F(m)=f(m)/m,
则有:
F(m)=F(m1)+F(m2)
其中
m=m1*m2

显然:F(m)为对数函数
由于：定义域为R
那么:设F(m)=ln|m|
即：
f(m)/m=ln|m|
得：
f(m)=mln|m|

显然:
f(xy)
=xyln(|xy|)
=xy[ln|x|+ln|y|]
=y(xln|x|)+x(yln|y|）
=yf(x)+xf(y)
成立

令x=y=0
则有：
f(0*0)=0f(0)+0f(0)
即：f(0)=0

所以:
f(x)
=xln|x| (x≠0)
=0 (x=0)

F（A*B)=A*F(B)+B*F（A)